Vorletzte HÜ - das Ende ist nah!! )
Hat jemand meine Ergebnisse?

171
(i) 16e^(4x) -48e^4x +32e^(4x)=0, d.h. e^(4x) ist Lösung
(ii) (8+16x)e^(4x) -12(1+4x)e^(4x) +32xe^(4x)= -4e^(4x)=nicht 0, d.h. xe^(4x) nicht Lösung
(iii) -16cos(4x) +48sin(4x) +32cos(4x)=nicht 0 d.h. cos(4x) nicht Lösung
172
(i) 16e^(4x) -32e^(4x) +16e^(4x)=0 d.h. e^(4x) ist Lösung
(ii) (8+16x)e^(4x) -(8+32x)e^(4x) +16xe^(4x)=0, d.h. xe^(4x) ist Lösung
(iii) -16cos(4x) +32sin(4x) +16cos(4x)=nicht 0, d.h. cos(4x) nicht Lösung
173
(i) 9e^(3x) -18e^(3x) +34e^(3x)= 25e^(3x)=nicht 0, d.h. e^(3x) nicht Lösung
(ii) -25vos(5x) +30sin(5x) +34cos(5x)=nicht 0, d.h. cos(5x) nicht Lösung
(iii) -3e^(3x)(16cos(5x)+30sin(5x)) -6e^(3x)(3cos(5x)-5sin(5x)) +34e^(3x)cos(5x)=0, d.h. e^(3x)cos(5x) ist Lösung
174
Exp. Ansatz: y=e^(µx) y'=µe^(µx) y''=µ²e^(µx)
einsetzen in DGL; e^(µx) herausheben: e^(µx)(µ²-10µ-39)=0
µ²-10µ-39=0 (weil e-Funktion nie 0 wird)
µ1=13, µ2=-3 d.h. y(x)allg.=C1*e^(13x)+C2*e^(-3x)
175
wie 174, aber nur ein µ (-9)
d.h. 1. Lösung= y(x)=C1*e^(-9x), 2.Lösung= y(x)=C2*xe^(-9x)
1.Lsg+2.Lsg=Allg.Lösung=y(x)=C1*e^(-9x) +C2*xe^(-9x)
176
Eulerformel: e^(ix)=cosx+isinx
-> y=C1*e^(11x)cos(7x) +C2*ie^(11x)sin(7x)
177
(i) y=C1*e^(7x)+C2*e^(-10x)
(ii) y=C1*e^(11x)+C2*xe^(11x)
178
(i) y=C1*e^(-10x)+C2*xe^(-10x)
(ii) y=C1*e^(11ix)+C2*xe^(11ix) (komplexwertige Lsg.)
180: y=C3*cos(11x) (=Re-Teil) +C4*isin(11x) (=Im-Teil)
y=C3*cos(11x)+C5*sin(11x) (=reellwertige Lsg.)
179
(i) y=C1*e^(9x)+C2*e^(-7x)
(ii) y=C1*e^((-2+5i)x) +C2*e^((-2-5i)x) (komplexwertige Lsg.)
180: y=C3*e^(-2x)cos(5x) (=Re-Teil) +C4*ie^(-2x)sin(5x) (=Im-Teil)
y=e^(-2x)(C3*cos(5x)+C5*sin(5x)) (reellwertige Lsg.)

ich hab überall dieselben Ergebnisse bis auf:

173iii) -16e^(3x)*cos(5x)-30e^(3x)*sin(5x)-18e^(3x)*cos(5x)-5e^(3x)*sin(5x))+34e^(3x)*cos(5x)=0, d.h. e^(3x)*cos(5x) ist KEINE Lösung

178ii) y(x)=C1*e^(11ix)+C2*e^(11ix) <- ohne x (...C2*xe^(11ix))

Danke für den Vergleich!

173 (iii):
exp(3x)cos(5x) muss aber schon eine Lösung sein...
Die charakteristische Gleichung ist µ²-6µ+34=0 mit den Lösungen 3+5i und 3-5i
und somit ist die Allgem. Lösung: y(x)=C1*exp(3x)cos(5x)+C2*exp(3x)sin(5x)
(dh. für C1=1 und C2=0 kommt exp(3x)cos(5x) heraus)

178 (ii) haben wir anscheinend beide falsch Die Lösungen sind +-11 (also gar nicht komplex!)
y(x)=C1exp(11x)+C2exp(-11x) sollt's sein!

hallo! hab eine frage und zwar wieso kann bei 172 iii) 32sin(4x) nicht null sein? wenn x null wäre würde es ja stimmen oder denke ich falsch?

Ja, aber die Differentialgleichung will ja für alle x erfüllt sein, nicht nur für 0

Du suchst die Funktionen bei denen, egal was immer du einsetzt, immer die 2. Ableitung minus 8 mal die 1. Ableitung plus 16 mal den Funktionswert gleich Null ist. Und für cos(4x) trifft das halt nicht zu... da ist das Ganze nicht 0 sondern 32*sin(4x), also von x abhängig.

zu 173 iii)

-30e^(3x)*sin(5x)-16e^(3x)*cos(5x)-18e^(3x)*cos(5x)+30e^(3x)*sin(5x)+34*cos(5x) = 0 -> IST Lösung!

173/3

y(x) = e^3x cos (5x)
y´(x) = 3e^3x -5sin (5x)
y´´(x) = 9e^3x - 25cos (5x)

Ist das soweit richtig???

also ich bekomme heraus:

y'= e^3x.[3cos(5x)-5sin(5x)]
y''= -e^3x.[16cos (5x)-30sin(5x)]

erste Ableitung hab ich mit Produktregel gemacht: u=e^3x; u'=3e^3x; v=cos(5x); v'=-5sin(5x): ergibt 3e^3x*cos(5x)+e^3x*[-5sin(5x)]. dann einfach herausheben und du hast y'
zweite Ableitung: wieder mit Produktregel wobei e^3x dein u ist und der restliche Term dein v du musst nur bei cos(5x) und sin(5x) auf deine innere Ableitung aufpassen und die nicht vergessen...ist ein bisschen zach dieses Bsp
lG